oran ve orantI

Günlük yaşantımızca çokça kullanılan oran ve orantı kavramları bilim insanları tarafından, bilimsel çalışmalarda da kullanılır.

Apartmanın pencereleri oransız olmuş.

Her paylaşım orantılı olmalı.

Dedem torunlarına, yaşlarıyla orantılı olarak bayram harçlığı verdi.

Yabancı marka otomobil kullanım oranı değişti ve yükseldi.

Dikdörtgenin eninin boyuna oranı...

Siz de benzer biçimde örnekler araştırınız.

ORAN NEDİR

Ali'nin parası, Veli'nin parasını 2 katı olsun.

Ali'nin parası 1 TL ise Veli'nin parası 2.1 = 2TL olur..

Ali'nin parası 3 TL ise Veli'nin parası 2.3 = 6TL olur..

Ali'nin parası 7 TL ise Veli'nin parası 2.7 = 14TL olur..

Ali'nin parası p ise Veli'nin parası 2.p olur..

aliveli

Ali'nin paralarını kesrin payı, buna karşılık gelen Veli'nin paralarını da kesrin paydası olarak yazabiliriz.

   1 2                   3 6                7 14                p 2p

 Bu karşılaştırmadaki her kesir sayısına oran denir,

   1 2   oranı 'Birin ikiye oranı' diye okunur.

   3 6  oranı 'Üçün altıya oranı' diye okunur.

7 14 oranı 'Yedinin ondörde oranı' diye okunur.

p 2p oranı 'p nin iki p ye oranı' diye okunur.

masa

Kesir sayılarındaki kurallar burada da geçerlidir. Bu nedenle, bir oranda payda 0 (sıfır) olamaz.

Örneğimizdeki 3 6    ve 7 14   oranları   1 2     nin 3 ve 7 ile genişletilmiş biçimi olduğunu görünüz.

Buna göre, 3 6   =   7 14   veya    (3,6)     =      (7,14) 

yazılabilir.

İki oranın eşitliğine ORANTI denir.

3 6   =   7 14   orantısında bulunan 3,6,7,14 sayılarına 'ORANTILI SAYILAR' denir.

3,6,7,14 sıralamasında dışta kalan sayılar 3 ile 14, içte kalan sayılar 6 ile 7 dir.

Bu nedenle    3 6        =        7 14     orantısında

3 ile 14 e ORANTININ DIŞLARI, 6 ile 7 ye ORANTININ İÇLERİ' DENİR.

3 6     =   7 14  orantısındaki dışların çarpımı

3 . 14 = 42

3 6    =   7 14  orantısındaki içlerin çarpımı

6 . 7 = 42

NOT: Bir oantıda içlerin çarpımı dışların çarpımına eşittir.

3 6    =   7 14  ise 3 . 14 = 6 .7 olur.

Birimli ve Birimsiz Oran:

Uzunlık ölçüsü birimi metredir m sembolü ile gösterilir.

Sıvı ölçüsü birimi litredir l sembolü ile gösterilir.

Kütle ölçüsü birimi gramdır g sembolü ile gösterilir.

Aynı birimli oranlara birimsiz oran, farklı birimli oranlara birimsiz oran denir.

7 g 14 g oranındaki birimlerini sadeleştirirsek, 7 14 oranını buluruz. Bu orana birimsiz oran denir.  

1 sa 120 km oranındaki birimler sadeleşmez, Bu orana birimli oran denir.  

 

 

 

ŞİMDİ ALIŞTIRMA ZAMANI

orantılı

 

DÖRDÜNCÜ ORANTILI

2 3  =  4 a   orantısındaki a sayısına 2 , 3 ,4 ile dördüncü orantılı olan sayı denir.

2 3 = 4 a orantısında, içlerin çarpımı dışların çarpımına eşit olduğundan,

2 . a = 3 . 4

2.a = 12

a = 12 : 2 = 6 bulunur.



7, 11, 14 sayılarının dördüncü orantılısı 1 + m ise, m nin değerini bulalım.

7 11 = 14 1 + m olur.

Bir orantıda içlerin çerpımı, dışların çarpımına eşit olduğundan,

7 . (1 + m) = 11 . 14 yazılabilir.

Bu denklemi çözelim.  

7 + 7.m = 154

7.m = 154 - 7

7m = 147

m = 147 : 7

m = 21 bulunur.

MİNİ TEST

1) Aşağıdakilerden hangisi oran değildir?

  A)  0 14               B)  7 0            C)  7 1             D)   7 7

2) Aşağıdakilerden hangisi orandır?

  A)  0,4 m 14      B)  0 0    C)  7 ha 11 m     D)   0,7 g 0 kg

3) Aşağıdakilerden hangisi 7 kg 8 kg oranına eşittirİ

  A)  14 kg 102 kg     B)    21 kg 71 kg     C)    63 kg 72 kg     D)    0,7 kg 7 kg

4) 3 5 oranının 6 m oranına eşit olabilmesi için m yerine hangi sayı yazılabilir?

  A) 15            B) 10             C) 9          D) 7

5) 3 5 oranının a 15 oranına eşit olabilmesi için a yerine hangi sayı yazılmalıdır?

  A) 9             B) 8              C) 7           D) 6

m + 1 14 oranının 2 7 oranına eşit olabilmesi için m yerine hangi sayı yazılmalıdır?

  A) 1             B) 2                C) 3          D) 4

 

DOĞRU ORANTI

DOĞRU ORANTI

Bazı otomobillerin hız sabitleyicileri vardır. 

       1 saatte ortalama 100 km yol giden otomobil

      2 saatte 2 . 100 km

      3 saatte 3 . 100 km

      4 saatte 4 . 100 km

      5 saatte 5 . 100 km yol gidebilir.

Zaman değişkenini t , zamana bağlı olarak değişen yolu l sembolü ile göstererek aşağıdaki tabloyu oluşturabiliriz.

Tablodan da anlaşıldığı gibi, zaman arttıkça, gidilen yol artmakta; zaman azaldıkça, gidilen yol azalmaktadır.

Zaman ile yol arasındaki ilişkiyi aşağıdaki gibi gösterelim.

   1 100    2 200    3 300    4 400    5 500   .  .  .   t 100t

Gerekli sadeleştirmeler yapılırsa oranların eşitliği görülebilir.  

   1 100    = 2 200    = 3 300    = 4 400    = 5 500    =.  .  .   = t 100t  

Bir orantıda değişkenin alacağı değerler artarken, buna bağlı değişkenin değerleri de artıyorsa, böyle orantıya DOĞRU ORANTI denir.

Benzer şekilde,

Bir orantıda değişkenin alacağı değerler azalırken, buna bağlı değişkenin değerleri de azalıyorsa, böyle orantıya DOĞRU ORANTI denir.

 

 

Aşağıdaki örnek çözümü inceleyiniz.

1) 1 saatte 80 km yol giden otomobilin, 240 km yolu kaç saatte gidebileceğini bulalım.

Birici çözüm:

80 km yol        1 saatte gidilirse,

1 km yol           1 80 saatte,

240 km yol       240 . 1 80   = 3 saatte gidebilir.

İkinci çözüm:

Zaman arttıkça gidilen yol da artacağından, zaman ile yol arasındaki orantı doğru orantıdır.

80 km yol       1 saatte gidilirse,

240 km yol      x saatte gidilir
80 240   1 x orantısı elde edilir.

Dışların çarpımı, içlerin çarpımına eşit olduğundan,

80 . x  = 240 . 1  olur. Buradan,     x = 3 bulunur.-

DO

                                          x = 240 . 1 80  = 3 sa

2) Ali 7, Veli 9 yaşındadır. 48 cevizi yaşlarıyla doğru orantılı olarak paylaşmak istiyorlar. Herkesin payına düşen ceviz sayısını bulalım.

Ali'nin cevizlerinin sayısı a
Veli'nin cevizlerinin sayısı v olsun.
a + v = 48 ise, a = 48 - v olur.

a v   =  7 9   orantısında a yerine 48 - v yazarak elde ettiğimiz denklemi çözelim.

         48 - v v   =  7 9 ise,
        (48 - v) . 9 = 7 . v
        432 - 9v = 7v
        432 = 7v + 9v
        432 = 16v
        v = 27
        a = 48 - 27 = 21 bulunur.

Orantı Sabiti (Ortak Oran)

Rasyonel sayılar ile ilgili bilgiler oran için de geçerlidir. 3 5 rasyonel sayısı bir oran olarak düşünülebilir. Kolaylık sağladığı için bazen bu oranı (3 , 5) sıralı ikilisi, (3 : 5) veya 3/5 şeklinde de gösterilebilir.
Rasyonel sayılardaki genişletme ve sadeleştirme kuralları oran ve orantıda da kullanılır 3 5 oranını 2 ile genişletirsek, bu orana eşit olan bir oran buluruz.

3 5  =  2.3 2.5  olur.  Buradan, 3 5  =  6 10 orantısı bulunur.

15 35 oranını 5 ile sadeleştirirsek, bu orana eşit bir oran buluruz

15 : 5 35 : 5  =  3 7 olur, Buradan, 15 35  =  3 7   orantısı bulunur.


6 9       10 15       14 21   oranlarını sadeleştirirsek 2 3 oranını buluruz.

(Bu oranların üçü de sabit bir sayıya yani 2 3 sayısına eşit oldu)

2 3 saysına,   6 9   =    10 15   =    14 21   orantısının ORANTI SABİTİ denir.


NOT: Buradaki orantılar, doğru orantıdır.

1. TEST

1) 3a + 1 ile 2a + 3 doğru orantılıdır. orantı sabiti   4 5    ise, a kaç olur?

     A) 1        B)  2         C)  3       D)  4
2) a sayısının 3 katı, c sayısının 5 katına eşittir. Buna göre, 4a - c 2a + c oranı hangisidir?

A)  17 13         B)  18 13          C)  19 13         D)   20 13

3)   c 2   =   x 5   ve    5c + 3x = 15 ise, c kaç olur?

     A) 1        B)  2         C)  3       D)  4

4)   x + 1 2x - 1  orantısında, orantı sabiti   2 3   ise x kaçtır?

     A) 4        B)  5         C)  6       D)  7

5)   17 - 2c 3c + 1   oranının orantı sabiti 5 ise, c kaçtır?

     A) 1        B)  2         C)  3       D)  4

6)    2a + b 3b - a orantısında, 2a = 3b ise, orantı sabitini bulunuz.

     A)  2 5         B)  8 3          C)  3       D)  9

Ters Orantı ve Bileşik Orantı için Tıklayınız...
aydin-i-m