MATEMATİK
Sayı Örüntüleri

KORKUNUN KAYNAĞI BİLGİSİZLİKTİR...



Doğal Sayılar

Bir küme içindeki elemanların miktarkarını belirlemek için kullanılan sayılara doğal saylar denir.
DOĞAL SAYILAR KÜMESİdenir ve bu küme genel olarak N harfiyle gösterilir.
N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13 ...} olur.

Doğal sayıları 2 ile çarparak elde edilen sayılar,
0,2,4,6,8,10,12,14 ... gibidir.

ÇİFT SAYILARdenir ve bu küme Ç harfiyle gösterilir.
Ç = {0,2,4,6,8,10,12,14 ... } olur.

Çift sayılara 1 eklenerek elde edilen sayılar,
1,3,5,7,9,11,13,15 ... gibidir.

Çift sayılara 1 eklenerek elde edilen sayılara TEK SAYILAR denir ve T harfiyle gösterilir.
T = {1,3,5,7,9,11,13,15 ...} olur.

Doğal sayıları temsil eden sembol n olsun.
Buna göre, Çift sayılar 2.n veya 2n ifadesiyle gösterilir.
Çift sayılara 1 ekleyince tek sayılar elde edildiğinden tek sayıar 2n + 1 ifadesiyle gösterilir.


Yukarıda olduğu gibi, belirli kurallara göre sıralanabilen çok miktarda doğal sayılar kümesi tanımlayabiliriz.

Saymada kullanılan 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,... gibi doğal sayılara SAYMA SAYILARI denir.

Sayma sayılarının 3 katına 2 ekleyerek elde edilen doğal sayıları bulalım.

Doğal sayıyı n sembolü ile gösterirsek,
3 katını 3n,
3 katının 2 fazlasını 3n + 2 ile gösteririz.

3n + 2 kuralına göre elde edilen sayıları bulalım:

n yerine sırayla 1,2,3,4,5,... sayılarını yazıp, gerekli işlemleri yazalım.

n=1 için 3.1 + 2 = 5
n=2 için 3.2 + 2 = 8
n=3 için 3.3 + 2 = 11
n=4 için 3.4 + 2 = 14 bulunur. Siz de öteki doğal sayılar için benzer işlemleri yapabilirsiniz.

3n + 2 kuralına göre 5,8,11,14, ... gibi sayılar bulunur.

Belirli bir kurala göre sıralanan sayılara SAYI ÖRÜNTÜSÜ denir.

Yukarıdaki sayı örüntüsü,
(3n + 2) = ( 2,5,8,11,14, ... ) şeklinde gösterilir.

n= 1 için bulunan değere örüntünün birinci terimi,
n= 2 için bulunan değere örüntünün ikinci terimi,
n= 3 için bulunan değere örüntünün üçüncü terimi,
n= 4 için bulunan değere örüntünün dördüncü terimi,
3n + 2 ifadesine, örüntünün kuralı veya genel terimi denir.
Siz de bu örüntünün 15. terimini bulunuz.

ÖRNEK SORU VE ÇÖZÜMLERİ

1) Kuralı 2n+3 olan örüntünün ilk 3 terimini bulalım:.

n=1 için, 2.1+3= 5
n=2 için, 2.2+3 = 7
n=3 için, 2.3+3 = 9 bulunur.

2)Kuralı 3n olan örüntünün 1. Ve 7. terimini bulalım:

n=1 için, 3.1= 3 olur. Örüntünün 1. Terimi 3 bulunur.
n=7 için, 3.7= 21 olur. Örüntünün 7. Terimi21 bulunur.

3) Kuralı 5n – 1 olan örüntünün, ilk 4 terimini bulalım:

n=1 için, 5.1 – 1= 4
n=2 için 5.2 – 1= 9
n=3 için, 5.3 –1 = 14
n=4 için, 5.4 – 1= 19 bulunur.

2) 4,7,10,13,16,…örüntüsünün kuralını bulalım:

Örüntünün ardışık iki terimi arasındaki fark 3 tür ve 3 er 3er artıyor. Bu nedenle, örüntünün kuralında 3n bulunması gerekir.
İlk terimi bulmak için n yerine 1 yazmamız gerekiyordu.
n=1 için, 3n nin alacağı değer 3.1=3 olur, buna 1 eklersek, 1. Terimi buluruz.
Buna göre, örüntünün kuralı: 3n + 1 bulunur.

3) İlk terimi 3, artma miktarı 5 olan örüntünün kuralını bulalım:

Artma miktarı 5 olduğundan, ardışık iki terimi arasındaki fark 5 tir. Bu nedenle, örüntünün kuralında 5n bulunur. n=1 için, 5n nin alacağı değer 5.1=5 olur.
İlk terimi yani 3 ü bulmak için, 5 ten 2 çıkarmak gerekir.
Buna göre, örüntünün kuralı: 5n – 2 bulunur.

4) Genel terimi n +7 olan örüntünün kaçıncı teriminin 67 olduğunu bulalım:

n yerine hangi sayı yazılınca n+7 in değerinin 67 olacağını bulacağız.
n + 7 = 67 ise,
n - 7 = 67 - 7
n = 60 olur.
Genel terimi n+7 olan örüntünün 60. terimi 67 dir.

5) Genel terimi 5n olan örüntünün kaçıncı teriminin 35 olduğunu bulalım:

n yerine hangi sayı yazılınca 5n in değerinin 35 olacağını bulacağız.
5n = 35 ise,
5 • n = 5 • 7 (5 ile çarpılınca 35 e eşit olan sayı 35:5=7 dir.)
n = 7 olur.
Genel terimi 5n olan örüntünün 7. terimi 35 tir.

6) Genel terimi 3n + 1 olan örüntünün kaçıncı teriminin 25 olduğunu bulalım:

3n + 1 = 25 ise,
3n + 1 = 24 + 1 ( 3n = 25 – 1 yazılabilir.)
3n = 24
3n = 3 • 8 (n = 24 : 3 =8 yazılabilir.)
n= 8 bulunur.
Genel terimi 3n+1 olan örüntünün 8. terimi 25 tir.

7) Bir sayı örüntüsünün kuralı 3 n 2 +5 tir. 2, 7 ve 10 uncu terimlerini bulalım:
n =    2 için   3 n 2 +5   alacağı değer:
3 • 2 2 + 5 = 3 • 4 + 5  =  12 + 5 = 17 bulunur ve 2 terim 17 olur.
n = 7   için   3 n 2 +5 alacağı değer:
3 • 7 2 + 5 = 3 • 49 + 5 = 147 + 5 = 152 bulunur ve 7 terim 152 olur.
n = 10   için   3 n 2 +5 alacağı değer:
3 • 10 2 + 5 = 3 • 100 + 5 = 300 + 5 = 305 bulunur ve 10. terim 305 olur.

ör
8) Yukarıdaki şekilde, bir sayı örüntüsünün ilk 3 adımının modellemesi verilmiştir.

a) Örüntünün kuralını,
b) Örüntünün 35 inci terimindeki yıldız sayısını,
c) 204 yıldız, örüntünün kaçıncı adımında olacağını bulalım:


a) Yıldız sayıları 2, 4, 6, 8 …
Ardışık terimler arasındaki fark 2 dir. Örüntünün kuralı (genel terimi) 2n olur.

b) n = 35 için 2n nini alacağı değer 2•35 = 70 olduğundan, örüntünün 35. Terimi 70 bulunur.

c) 2n = 204 ise,
      n = 204 : 2
      n = 102 bulunur.

9)Aşağıdaki şekil örüntüsüne göre, genel terimi ve 12. aşamadaki küçük kare sayısını bulalım:
kareler
1 → 1 = 1 2
2 → 4 = 2 2
3 → 9 = 3 2
4 → 16 = 4 2
(Adım sayısının karesine dikkat ediniz.)
Genel terim n 2 bulunur.

12. aşamadaki küçük kare sayısı ( 12 2 = 144 bulunur.

10) Genel terimi n 2 olan örüntünün kaçıncı teriminin 81 olduğunu bulalım:

n 2 = 81 ise n 2 = 9 2 yazılabilir. Buradan n= 9 bulunur.


Bölünebilme kuralları için tıklayınız ...