MATEMATİK
Doğru Orantı, Ters Orantı
II. yüzyılda yaşayan Galenos tarafından şöyle tanımlanır: "Güzellik tek tek unsurlarda değil, birinin diğerine göre, yani ele göre parmakların tümünün, bileğe göre elin, bütün kola göre ön kolun, nihayet parçaların hepsinin diğerine göre orantısı olmalıdır.

orantı

DOĞRU ORANTI

Bazı otomobillerin hız sabitleyicileri vardır. 
      1 saatte ortalama 100 km yol giden otomobil
      2 saatte 2 . 100 km
      3 saatte 3 . 100 km
      4 saatte 4 . 100 km
      5 saatte 5 . 100 km yol gidebilir.
Zaman değişkenini t , zamana bağlı olarak değişen yolu l sembolü ile göstererek aşağıdaki tabloyu oluşturabiliriz.

Tablodan da anlaşıldığı gibi, zaman arttıkça, gidilen yol artmakta; zaman azaldıkça, gidilen yol azalmaktadır.
Zaman ile yol arasındaki ilişkiyi aşağıdaki gibi gösterelim.
   1 100    2 200    3 300    4 400    5 500   .  .  .   t 100t
Gerekli sadeleştirmeler yapılırsa oranların eşitliği görülebilir.

    1 100    = 2 200    = 3 300    = 4 400    = 5 500    =.  .  .   = t 100t

Yukarıdaki orantıda, orantı sabiti 1 100 sayısıdır.


Bir orantıda değişkenin alacağı değerler artarken, buna bağlı değişkenin değerleri de artıyorsa, böyle orantıya DOĞRU ORANTI denir.

Benzer şekilde,

Bir orantıda değişkenin alacağı değerler azalırken, buna bağlı değişkenin değerleri de azalıyorsa, böyle orantıya DOĞRU ORANTI denir.


Romalı mimar olan Vitruvius vücut oranlarının sabit ve değişmez kurallarını belirlemiştir. Bu kurallar bir figürün yüz kısmı vücudun 1/10'i alnın uzunluğu yüzün 1/3'i ya da ayağın boyu vücut uzunluğunun 1/6'i dir.


Aşağıdaki örnek çözümleri inceleyiniz

1) 1 saatte 80 km yol giden otomobilin, 240 km yolu kaç saatte gidebileceğini bulalım.

Birici çözüm:

80 km yol        1 saatte gidilirse,
1 km yol           1 80 saatte,
240 km yol       240 . 1 80   = 3 saatte gidebilir.

İkinci çözüm:
Zaman arttıkça gidilen yol da artacağından, zaman ile yol arasındaki orantı doğru orantıdır.
80 km yol       1 saatte gidilirse,
240 km yol      x saatte gidilir
80 240   1 x orantısı elde edilir.
Dışların çarpımı, içlerin çarpımına eşit olduğundan,
80 . x  = 240 . 1  olur. Buradan,     x = 3 bulunur.

DO
                                          x = 240 . 1 80  = 3 sa

2) Ali 7, Veli 9 yaşındadır. 48 cevizi yaşlarıyla doğru orantılı olarak paylaşmak istiyorlar. Herkesin payına düşen ceviz sayısını bulalım.

Birinci çözüm:
Ali'nin cevizlerinin sayısı a
Veli'nin cevizlerinin sayısı v olsun.
a + v = 48 ise, a = 48 - v olur.

a v   =  7 9   orantısında a yerine 48 - v yazarak elde ettiğimiz denklemi çözelim.

         48 - v v   =  7 9 ise,
        (48 - v) . 9 = 7 . v
        432 - 9v = 7v
        432 = 7v + 9v
        432 = 16v
        v = 27
        a = 48 - 27 = 21 bulunur.

İkinci çözüm:

a v = 7 9 orantısında,
a = 7 pay ise,  v = 9 pay olur. Kolaylık sağladığı için pay yerine p değişkeni yazalım.
a = 7p  ve   v = 9p olur.

a + v = 48  eşitliğinde a ve b nin yerine, p cinsinden değerini yazalım.
7p + 9p = 48
16p = 48
p = 3 olur.

a=7p için, a = 7.3 = 21
v= 9p için, v = 9.3 = 27 bulunur.

Müzikte de orantı vardır. Uzunluklarının oranı 1/2 olan tellerle bir oktav üstte ses elde edilir.
Ses ile orantı arasındaki ilişkiyi öğrenmek için tıklayınız

TERS ORANTI

Birlikten kuvvet doğar. Bir işi yaparken işçi sayısı artarsa, işin yapıldığı gün sayısı azalır.
Duvarı 16 günde boyayabilir.
Duvarı 8 günde boyayabilirler.
Duvarı 4 günde boyayabilirler.
Duvarı 2 günde boyayabilirler.
Duvarı 1 günde boyayabilirler.

Bir kişi bir duvarı 16 günde boyayabiliyorsa, aynı duvarı aynı nitelikli 2 kişi daha kısa sürede yani 8 günde boyayabilir. İşçi sayısını i değişkeni, gün sayısını g değişkeniyle göstererek aşağıdaki değişim tablosunu yapalım.

to
Burada, işçi sayısı belirli bir oranta arttıkça, iş günü de aynı oranda azalmaktadır.

boyacı
Bir orantıda değişkenin alacağı değerler artarken, buna bağlı değişkenin değerleri azalıyorsa, böyle orantıya TERS ORANTI denir.
Benzer şekilde,
Bir orantıda değişkenin alacağı değerler azalırken, buna bağlı değişkenin değerleri artıyorsa, böyle orantıya TERS ORANTI denir. Yuarıdaki tabloda karşılıklı gelen sayıları çarpalım.
1 . 16  =  2 . 8  =  4 . 4  =  8 . 2  =  16 . 1  =  16 olur. 16 sayısına orantı sabiti denir.

Yukarıdaki tabloya göre,

1 16 ile 2 8 ters orantılıdır.
Aşağıdaki örnek çözümleri inceleyiniz.

1) Bir havuz aynı nitelikli 2 musluk ile 36 saatte doldurulabiliyorsa, aynı nitelikli 9 musluk ile kaç saatte doldurulabilir?

Birinci çözüm:

Musluk sayısını m değişkeniyle, zaman değişkeninin t sembolüyle gösterelim.
Aşağıdaki değişim tablosunu inceleyiniz.

Musluk sayısı artınca dolum süresi azalır. Bu nedenle değişim ters orantılıdır.
2 . 36  =  9 . t olur.  Buradan, t = 8 bulunur.

Kolaylık bulalım :.

Ters orantıda, yanların çarpımı, yanların çarpımına eşit olduğundan,
2.36 = 9.t yazılır.
Buradan,       t  =   mfrac> 2 . 36 9 =  8  bulunur.

İkinci çözüm:

2 musluk     36 saate doldurursa,
1 musluk     2.36 saatte,
9 musluk     (2.36) : 9 = 18 : 9 = 2 saatte doldurur.

2) Ali 7, Veli 9 yaşındadır. 48 cevizi yaşlarıyla ters orantılı olarak paylaşmak istiyorlar. Paylarına düşen ceviz sayısını bulalım.

Ali'nin payına düşen ceviz sayısı a
Veli'nin payına düşen ceviz sayısı v olsun.
Ters orantı olduğu için a.7 = v.9 olur.
Buradan a v = 9 7 bulunur.
a = 9p ise v= 7p dir.
Payların toplamı a + v = 48

Bu denklemdeki a ve v nin yerine p cinsinden değerini yazalım.

9p + 7p = 48
16 p = 48
p = 3 olur.
a = 9p için a=9.3 = 27 ve v= 7p için v= 7.3 = 21 bulunur.

borazan Sorular için tıklayınız ...