MATEMATİK
Oran ve Orantı

orantı

oran


Günlük yaşantımızda ve bilimde oran ve orantı kavramları çok kullanılır.
Apartmanın pencereleri oransız olmuş.
Her paylaşım orantılı olmalı.
Dedem torunlarına, yaşlarıyla orantılı olarak bayram harçlığı verdi.
Yabancı marka otomobil kullanım oranı değişti ve yükseldi.
Dikdörtgenin eninin boyuna oranı...
Siz de benzer biçimde örnekler araştırınız.

Ali'nin parası, Veli'nin parasını 2 katı olsun.
Ali'nin parası 1 TL ise Veli'nin parası 2.1 = 2TL olur..
Ali'nin parası 3 TL ise Veli'nin parası 2.3 = 6TL olur..
Ali'nin parası 7 TL ise Veli'nin parası 2.7 = 14TL olur..
Ali'nin parası p ise Veli'nin parası 2.p olur..
aliveli
Ali'nin paralarını kesrin payı, buna karşılık gelen Veli'nin paralarını da kesrin paydası olarak yazabiliriz.

     1 2                   3 6                7 14                p 2p

Bu karşılaştırmadaki kesir sayılarına oran denir,

   1 2  oranı 'Birin ikiye oranı' diye okunur.
   3 6  oranı 'Üçün altıya oranı' diye okunur.
   7 14 oranı 'Yedinin ondörde oranı' diye okunur.
   p 2p oranı 'p nin iki p ye oranı' diye okunur.
masa
Kesir sayılarındaki kurallar burada da geçerlidir. Bu nedenle, bir oranda payda 0 (sıfır) olamaz.


BİRİMLİ VE BİRİMSİZ ORAN

Uzunlık ölçüsü birimi metredir m sembolü ile gösterilir.
Sıvı ölçüsü birimi litredir l sembolü ile gösterilir.
Kütle ölçüsü birimi gramdır g sembolü ile gösterilir.
Aynı birimli oranlara birimsiz oran, farklı birimli oranlara birimsiz oran denir.
7 g 14 g oranındaki birimlerini sadeleştirirsek, 7 14 oranını buluruz. Bu orana birimsiz oran denir.
  1 sa 120 km oranındaki birimler sadeleşmez, Bu orana birimli oran denir.

ORANTI

3 6    ve   7 14   oranları   1 2     nin 3 ve 7 ile genişletilmiş biçimi olduğunu görünüz.
Buna göre, 3 6   =   7 14   veya    3:6  =  7:14 yazılabilir.

İki oranın eşitliğine orantı denir

3 6   =   7 14   orantısında bulunan 3,6,7,14 sayılarına 'orantılı sayılar' denir.

3,6,7,14 sıralamasında dışta kalan sayılar 3 ile 14, içte kalan sayılar 6 ile 7 dir.
Bu nedenle    3 6   =   7 14    orantısında 3 ile 14 e orantının dışları,6 ile 7 ye orantının içleri denir.

3 6    =   7 14   orantısındaki dışların çarpımı   3 . 14 = 42
3 6    =   7 14   orantısındaki içlerin çarpımı 6 . 7 = 42

Buradan, bir oantıda içlerin çarpımının dışların çarpımına eşit olduğu anlaşılır.

3 6    =   7 14   ise    3 . 14 = 6 . 7 olur.

Bir orantıda içlerin çarpımı dışların çarpımına eşittir.

Örnek soru ve çözümü:

x - 3 x + 3 = 5 6 ise, x in değerini bulalım.

Bu orantıda, dışların çarpımı içlerin çarpımına eşittir.
6.(x - 3) = 5.(x+3) olur. Buradan,
6x - 18 = 5x + 15
6x - 5x = 15 + 18
x = 33 bulunur.

DÖRDÜNCÜ ORANTILI

2 3  =  4 a   orantısındaki a sayısına 2 , 3 ,4 ile dördüncü orantılı olan sayı denir.

2 3 = 4 a orantısında, içlerin çarpımı dışların çarpımına eşit olduğundan,
2 . a = 3 . 4
2.a = 12
a = 12 : 2 = 6 bulunur.

Örnek soru ve çözümü:
7, 11, 14 sayılarının dördüncü orantılısı 1 + m ise, m nin değerini bulalım.

7 11 = 14 1 + m olur.

Bir orantıda içlerin çerpımı, dışların çarpımına eşit olduğundan,
7 . (1 + m) = 11 . 14 yazılabilir.
Bu denklemi çözelim.
7 + 7.m = 154
7.m = 154 - 7
7m = 147
m = 147 : 7
m = 21 bulunur.

ORANTI SABİTİ (Ortak Oran)

Rasyonel sayılar ile ilgili bilgiler oran için de geçerlidir.
3 5 rasyonel sayısı bir oran olarak düşünülebilir. Kolaylık sağladığı için bazen bu oran (3 : 5) veya 3/5 şeklinde de gösterilebilir.
Rasyonel sayılardaki genişletme ve sadeleştirme kuralları oran ve orantıda da kullanılır 3 5 oranını 2 ile genişletirsek, bu orana eşit olan bir oran buluruz.

3 5  =  2.3 2.5  olur.  Buradan, 3 5  =  6 10 orantısı bulunur.

15 35 oranını 5 ile sadeleştirirsek, bu orana eşit bir oran buluruz

15 : 5 35 : 5  =  3 7 olur, Buradan, 15 35  =  3 7   orantısı bulunur.


6 9       10 15       14 21   oranlarını sadeleştirirsek 2 3 oranını buluruz.

(Bu oranların üçü de sabit bir sayıya yani 2 3 sayısına eşit oldu)

2 3 saysına,   6 9   =    10 15   =    14 21   orantısının ORANTI SABİTİ denir.

Orantı sabiti genellikle k, t, p gibi küçük harflerle gösterilir.

Örnek soru ve çözümü:

      1 +m4 2m -1 orantısında orantı sabiti 3 ise, m nin değerini bulalım.

      1 +m4 2m -1 = 3   ise    1 +4m 2m -1 = 3 1 yazılabilir.
Dışların çarpımı, içlerin çarpımına eşit olduğundan,
     1.( 1+4m) = 3.(2m - 1)
     1+4m = 6m - 3
     1+3 = 6m - 4m
     4 = 2m
      m = 2 bulunur.


Örnek soru ve çözümü:

x + 1 y + 3 orantısında x=1 iken, y=2 oluyorsa, x= 3 için y kaç olur?

Verilen oranda x yerine 1, y yerine 2 yazarak orantı sabitini bulalım.

1 + 1 2 + 3 = k ise, k= 2 5 bulunur.

x + 1 y + 3 = 2 5 orantısında x yerine 3 yazarak, y nin değerini bulalım.

3 + 1 y + 3 = 2 5 Bu denklem çözülürse y = 7 bulunur.

ORANTI ÖZELLİKLERİ

   2 3 = 6 9 orantısında, dışların yerlerini değiştirelim.

   9 3 = 6 2   olur   Buradan, 9.2 = 3.6   ve   18 = 18 bulunur.

Bir orantıda dışlar yer değiştirince orantı bozulmaz.

   2 3 = 6 9 orantısında, dışların yerlerini değiştirelim.

   2 6 = 3 9   olur  Buradan, 9.2 = 3.6   ve   18 = 18 bulunur.

Bir orantıda içler yer değiştirince orantı bozulmaz.

Orantı özellikleri daha geniş olarak ileride işlenecektir.

Örnek soru ve çözümü:

İki sayının toplamı 65 ve küçük olanın büyük olana oranı 4 9 dur. Bu sayıları bulalım.

Küçük sayıyı a, büyük sayıyı c değişkeni ile gösterelim.
a + c = 65 ve
a c = 4 9 olur. Orantının içlerini yer değiştirelim.

a 4 = c 9 = k ( orantı sabiti k dir)

a 4 = k   ise   a = 4k        c 9 = k   ise,   c = 9k bulunur.
Sayıların toplamı 65 olduğundan,
a + c = 65 ifadesindeki a ve c yerine k cinsinden değerlerini yazalım.
4k + 9k = 65
13k = 65
k = 5 olur.
Buradan, a = 4k için a= 4.5 = 20 ve c = 9k için c= 9.5 = 45 bulunur.

Orantı ne işe yarar?

Elinize 1 metre uzunluğunda bir değnek alıp, yere dik olacak şekilde bir ağacın yanına sabitletiniz. Değneğin ve ağacın gölgesini ölçünüz.

ağaç

Değneğin boyunun gölgesinin boyuna oranı, ağacın boyunun gölgesinin boyuna oranına eşit olacaktır.

Deneyin ve anlayın...

Yaparsan öğrenirsin...

Unutma, korku yenilebilir. Korkunun kaynağı bilgisizliktir. Öğrendikçe korkularından kurtulursun. ...

MİNİ TEST

1) Aşağıdakilerden hangisi oran değildir?

  A)  0 14               B)  7 0            C)  7 1             D)   7 7

2) Aşağıdakilerden hangisi orandır?

  A)  0,4 m 14      B)  0 0    C)  7 11 m     D)   0,7 g 0 kg

3) Aşağıdakilerden hangisi 7 kg 8 kg oranına eşittirİ

  A)  14 102     B)    21 71     C)    63 72     D)    0,7 7

4) 3 5 oranının 6 m oranına eşit olabilmesi için m yerine hangi sayı yazılabilir?

  A) 15            B) 10             C) 9          D) 7

5) 3 5 oranının a 15 oranına eşit olabilmesi için a yerine hangi sayı yazılabilir?

  A) 9             B) 8              C) 7           D)

6) m + 1 14 oranının 2 7 oranına eşit olabilmesi için m yerine hangi sayı yazılabilir?
  A) 1             B) 2                C) 3          D) 4

7) İçler dışlar çarpımı 3.8 = 4.6 olan orantı, aşağıdakilerden hangisine eşit değildir?

A)  1 2            B)  7 14            C)  9 12            D)  12 17

8) m, 3, m+12 in dördüncü orantılısı 5 ise m kaçtır?

     A) 16        B)  17         C)  18       D)  19

9) Belma'nın parası Ali'nin parasının 5 , Cemal'in parasının 2 katına eşittir. Ali'nin parasının Cemal'in parasına oranı aşağıdakilerden hangisidir?

A)  1 5            B)  2 5            C)  3 5            D)  4 5

MİNİ TEST

1) 3a + 1 ile 2a + 3 orantılıdır. orantı sabiti   4 5    ise, a kaç olur?

     A) 1        B)  2         C)  3       D)  4
2) a sayısının 3 katı, c sayısının 5 katına eşittir. Buna göre, 4a - c 2a + c oranı hangisidir?

A)  17 13         B)  18 13          C)  19 13         D)   20 13

3)   c 2   =   x 5   ve    5c + 3x = 15 ise, c kaç olur?

     A) 1        B)  2         C)  3       D)  4

4)   x + 1 2x - 1  orantısında, orantı sabiti   2 3   ise x kaçtır?

     A) 4        B)  5         C)  6       D)  7

5)   17 - 2c 3c + 1   oranının orantı sabiti 5 ise, c kaçtır?

     A) 1        B)  2         C)  3       D)  4

6)    2a + b 3b - a orantısında, 2a = 3b ise, orantı sabitini bulunuz.

     A)  2 5         B)  8 3          C)  3       D)  9

7) a ve b sayısı, 3 ve 7 ile orantılıdır. a= 15 ise, b kaçtır?

     A) 34        B)  35         C)  36       D)  37

8) m ile 2m-1 orantılı ve orantı sabiti 3 ise, m + 1 kaçtır?

     A) 3        B)  2         C)  1       D)  0

9) 34 m tel   8 9  oranına göre iki parçaya ayrılıyor. Parçaların uzunlukları arasındak fark kaç metredir?

     A) 3        B)  2         C)  1       D)  0