Ülkemizde öğrencilerin en çok korktuğu ve sevmadiği deslerin başında matematik gelmektedir. Yetişkinlerin çoğu bile biraz ürkek, biraz çekingen yaklaşır matematik konularına. Öğrencilik ve öğretmenlik yaptığım yıllarda ben de matematikten hayli sıkıntı çekmiştim. Şimdi bakıyorum da korku ve sıkıntılarımın kaynağı matematik konuları olmanın yanında, genellikle matematik öğretmenlerimin asık ve sevimsiz yüzleri olduğunu anlıyorum.
Bu bilgiler sayesinde, matematiği sevdirerek, eğlendirerek ve inandırarak anlatmanın yollarını araştırıp uygulamaya çalışacağım.
Bilim, insan yaşantısını kolaylaştırmak için, matematik te bilimin işini kolaylaştırmak için olmalı.
Matematikçiler, bilim insanlarının çalışmaları sırasında karşılaştıkları sorunların çözümünde , kolaylık sağladığı için denklem kurmayı ve denklem çözmeyi öğretir.
Denklemlerle çok zor sorular kolayca çözülebilir.
Bu bölümde denklemi, denklemin kuruluşunu, denklemlerin çözümünü öğreneceğiz.



denklem kurma


Örnek problem:
Ayşegül açlık problemini çözmek istiyor.Ne yemeli?
Bu problemin çözümünde önce yenilebilirleri tanımlamak gerekir.
Bu kümede ekmek, portakal, acı biber, tuz, şeker, kabuk, yaprak, et, ot ve başkalrı olabilir.
Tanımladığımız yenilebilirlerin oluşturduğu kümeye TANIM KÜMESİ denir.
Problemin değişkenini belirleyip denklemini kuralım.
Problemin değişkeni n olsun.
Bu değişkeni kullanarak problemi yeniden yazalım.

Ayşegül açlık problemini çözmek istiyor. n yemeli? olur.
n yerine taş yazamayız çünkü, taş tanım kümesinde yoktur. Yazarsak yanlış olur.
n yerine ekmek yazabiliriz. Yazarsak doğru olur.

n yerine ekmek yazalım.
Ayşegül açlık problemini çözmek istiyor. Ekmek yemeli.
olur ve doğrudur.
Yenebileceklerin içinde acı biber vardır. n yerine acı biber yazabiliriz ancak doğru olmaz.

Ayşegül açlık problemini çözmek istiyor. acı biber yemeli.
Yanlış olur. Bu nedenle:
Ayşegül açlık problemini çözmek istiyor. n yemeli? denkleminin köklerinden birisi ekmek olabilir. Ancak taş ve acı biber Ayşegül açlık problemini çözmek istiyor. n yemeli? denkleminin kökü olamaz.


İlerdeki bölümlerde denklemlerin birden çok köklerinin olabileceğini göreceğiiz.


Örnek Problem:
Cebimizde bir miktar para var ve kaç lira olduğunu bilmiyoruz. Bu paranın 25 TL fazlasının 125 TL olduğunu biliyoruz.Cebimizdeki paranın miktarını bulunuz.

Bu örnek soruyu matematik cümlesiyle ifade edebiliriz.

Cebimizdeki paranın tamamını kolaylık sağlaması için p sembolü ile gösterelim.

Paranın 25 fazlası p + 25 şeklinde gösterilebilir. p + 25 = 125 olur.
p + 25 = 125 ifadesine denklem denir.
p = 100 için p + 25 = 125 ifadesi doğru olduğundan, 100 sayısına p + 25 = 125 denkleminin kökü denir.
Denklemin kökünü bulmak için yapılan işlemlere de denklemi çözmek denir.

Bu denklemi çözmek için bir yöntem geliştirelim:
p + 25 = 125 denkleminde  =   sembolünün sol yanında p + 25 sağ yanında 125 vardır.

p + 25 = 125  ise
Eşitliğin iki yanını 25 in toplama işlemine göre tersi olan -25 ile toplarsak eşitlik bozulmaz.
p + 25 + (-25) = 125 + (-25)    olur.
p + 0 = 100   (0 toplama işleminin etkisiz elemanıdır)
p = 100 bulunur.

Denklemin kökünü bulmak için yapılan mantıklı işlere, denklemi çözmek denir.

NOT :
1) Bir eşitliğin iki yanını aynı sayı ile toplanırsa, eşitlik bozulmaz
2) Bir eşitliğin iki yanından aynı sayı çıkarılırsa, eşitlik bozulmaz.
3) Bir eşitliğin iki yanı aynı sayı ile çarpılırsa, eşitlik bozulmaz.
4) Bir eşitliğin iki yanı sıfrdan farklı bir sayı ile bölünürse, eşitlik bozulmaz.


Örnek problem:
Cebimizde bir miktar para var ve kaç lira olduğunu bilmiyoruz. Bu paranın 25 TL eksiğinin 125 TL olduğunu biliyoruz. Cebimizdeki paranın miktarını bulunuz.

Bu örnek soruyu matematik cümlesiyle ifade edelim.

Kolaylık sağlaması için, cebimizdeki paranın tamamını t sembolü ile gösterelim.

Paranın 25 eksiği t - 25 şeklinde gösterilir.
Örnek sorunun değişkeni t, denklemi   t - 25 = 125  olur.

Denklemin çözümü:

t - 25 = 125  ise,
t - 25 + (+25) = 125 + 25 (-25 in toplama işlemine göre tersi +25 tir)
t + 0 = 150  (Toplama işleminin etkisiz elemanı 0 dır)
t = 150 .olur.
Denklemin kökü 150 bulunur.

Sağlama:

Denklemdeki t yerine, denklemin kökü olan 150 sayısını yazalım.
150 - 50 = 125
125 = 125 eşitliği bulunur.

Bu durum 'kök denklemi sağlar' diye ifade edilir.
Denklemin kökü olmayan sayılar denklemi sağlamazlar.

250 sayısı t - 25 = 125 denkleminin kökü olmadığından, denklemi sağlamaz.
t - 25 = 125 denkleminde t değişkeninin yerine 250 yazılırsa,
250 - 25 = 125
225 = 125 şeklinde yanlış olan bir ifade bulmuş oluruz.


Örnek Problem:
Değişkeni x olan 3x + a - 11 = 0 denkleminin kökü 2 ise a nın değeri nedir?

Denklemin çözümü:

Denklemin kökü 2 ise denklemdeki x yerine 2 yazılırsa eşitlik bozulmaz.

3.2 + a - 11 = 0
6 + a - 11 = 0
a - 5 = 0
a - 5 + 5 = 0 + 5
a + 0 = 5
a = 5 bulunur.

Örnek problem:
2 katı 8 TL olan paranın tamamını bulunuz.

Paranın tamamını x değişkeni ile gösterelim.

x sembolü ile çarpma işleminin karışmaması için çarpma işareti yerine • (nokta) koyalım.

Paranın 2 katı 2•x veya 2x ile gösterilir.

Paranın 2 katı 8 e eşit olduğundan, 2 • x = 8 yazılır.

Denklemin çözümü:

2 • x = 8 ise,

2x 2  =   8 2   (Denklemin iki yanını 2 ye böldük.)
1.x = 4    ( Çarpma işleminin etkisiz elemanı 1 dir.)
x = 4 bulunur. Denklemin kökü 4 olur.

Örnek problem: Yarısı 18 TL olan paranın tamamını bulunuz.

Paranın tamamını a değişkeni ile gösterelim. Bilinmeyen a olur.

Paranın yarısı a:2

Paranın yarısı 18 e eşit olduğundan, a 2 = 18 yazılır.

Denklemin çözümü:

a 2 = 18 ise,
2 • a 2 = 18 • 2    (Eşitliğin iki yanını 2 ile çarptık)
Sadeleştirme yapılınca, a = 36 bulunur. Denklemin kökü 36 dır.

Örnek problem:
Ali'nin yaşının 2 katının 3 fazlası 17 dir. Ali'nin yaşını bulunuz.

Ali'nin yaşını a değişkeni ile gösterelim.
Ali'nin yaşının 2 katı 2 • a ,
Ali'nin yaşını 2 katının 3 fazlası 2 • a + 3 ile gösterilir.
Buna göre 2 • a + 3 = 17 olur.

Denklemin çözümü:

2 • a + 3 = 17 ise,
2 • a + 3 + (-3) = 17 + (-3)
2 • a + 0 = 14
2 • a = 14
a = 7  olur.
Denklemin kökü 7 bulunur.

Ali'nin yaşı 7 dir.


Örnek problem:
Üçte ikisi 7 TL olan paranın tamamını bulunuz.

Paranın tamamını y değişkeni ile gösterelim.

Paranın üçte ikisi, y 3 • 2    veya    2 3 • y şeklinde gösterilir.

Paranın üçte ikisi 7 ye eşit olduğundan,

2 3 • y = 7 yazılır.

Denklemin çözümü:


2 3 • y = 7    ise,   3 2 2 3 • y = 3 2 • 7    olur.  Niçin?

Sadeleştirmeler yapılırsa,

y = 10,5 bulunur.

Örnek problem:
4( 2x - 7) = 3(x- 5) + 12 denkleminin kökünü bulunuz.

4( 2x - 7) = 3(x- 5) + 12 ise,
4.2x - 4.7 = 3.x - 3.5 + 13
8x -28 = 3x -15 + 13
8x - 28 + 28 = 3x - 15 + 12 + 28
8x + 0 = 3x + 25
8x = 3x + 25
8x - 3x = 3x - 3x + 25
5x = 0 + 25
5x = 25
x = 5 bulunur.

Örnek problem:
3x - 1 2 = x + 3 denklemini çözelim.

3x - 1 2 = x + 3 1 paydalarını eşitleyelim.
3x - 1 2 = 2(x + 3) 2
Bu kesirlerin eşit olabilmesi için, payların da eşit olması gerekir.
3x - 1 = 2(x + 3) 3x - 1 = 2x + 6 3x - 2x = 6 + 1 (Bir terim eşitliğin öteki tarafına geçerken işaret değiştirir.)
x= 7 bulunur.



Devamı için tıklayınız...

Matematik, bilimsel çalışmalar ve günlük yaşantımızın kolaylaşması için gereklidir.